보어 모형

3. 전자의 에너지 준위

3. 1. 전자의 에너지 준위 유도

• 고전 역학: 전자에 작용하는 구심력은 쿨롱 힘과 같다.

• 양자 규칙: 각운동량 은 ''ħ''의 정수배이다.

• $m\_\backslash mathrm\{e\}\; c^2$는 전자의 정지 질량 에너지(511 keV)이다.
• $\backslash frac\{k\_\backslash mathrm\{e\}\; e^2\}\{\backslash hbar\; c\}\; =\; \backslash alpha\; \backslash approx\; \backslash frac\{1\}\{137\}$는 미세 구조 상수이다.
• $R\_\backslash mathrm\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; (m\_\backslash mathrm\{e\}\; c^2)\; \backslash alpha^2$.

4. 뤼드베리 공식

뤼드베리 공식은 보어의 이론 이전에 이미 알려진 공식으로, 오비탈 간 에너지 준위 차이로 발생하는 양자 도약 또는 에너지 전이를 설명한다. 보어 공식은 플랑크 상수와 전자의 전하를 포함한 이미 잘 알려진 자연 상수들로 뤼드베리 상수를 표현하여 수치를 제공한다.^[28][29] 전자가 높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 이동할 때 양자가 방출되는데, 이때 방출되는 빛의 파장은 뤼드베리 공식으로 결정된다.

::$\backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}=R\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{n\_\{f\}^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{n\_\{i\}^2\}\; \backslash right).\; \backslash ,$

여기서 n_f는 나중 에너지 준위, n_i는 처음 에너지 준위, R은 뤼드베리 상수이다.

19세기 분광학 연구 과학자들은 이 공식을 이미 알고 있었지만, 보어 이전까지는 이론적인 설명이나 R값의 예측이 불가능했다. 보어는 자신의 모델을 통해 뤼드베리 상수를 유도하고, 실험적으로 관측된 라이먼, 발머, 파셴 계열의 스펙트럼 선과 일치하는 결과를 얻었다. 또한 아직 관측되지 않은 다른 선들도 성공적으로 예측하여 그의 모델이 즉시 받아들여지는 데 기여했다.^[29]

보어는 그의 친구 한스 한센(Hans Hansen)으로부터 발머 계열이 1885년 요한 발머(Johann Balmer)가 발견한 발머 공식(Balmer formula)을 사용하여 계산된다는 것을 알게 되었다.^[14][20] 이것은 1888년 요하네스 뤼드베리(Johannes Rydberg)에 의해 일반화되어 현재 뤼드베리 공식(Rydberg formula)으로 알려져 있으며, 보어는 "모든 것이 명확해졌다"고 선언했다.^[20]

5. 무거운 원자의 껍질 모델

보어는 수소 원자 모델을 확장하여 무거운 원자에 대한 대략적인 모델을 제시했다. 무거운 원자들은 원자핵 안에 많은 양성자를 가지고, 그 전하를 상쇄시키기 위한 더 많은 전자들을 가진다. 보어는 각 궤도가 특정한 수의 전자만을 수용할 수 있으며, 그 궤도가 채워지면 다음 궤도가 사용된다는 껍질 구조를 가정했다.^[3]

이러한 모델은 가리움 효과를 통해 전자들 간의 상호작용을 설명한다. 바깥 궤도에 있는 전자들은 원자핵 뿐만 아니라, 내부 전자 주변을 운동한다. 따라서 그들이 느끼는 실질적인 전하 Z는 내부 궤도의 전자들의 수에 의해 감소된다.

예를 들어, 리튬 원자는 가장 낮은 1s 궤도에 2개의 전자를 가지고 Z=2에서 이러한 궤도를 가진다. 각각의 전자는 Z=3의 핵 전하가 다른 전자들의 가리움 효과를 상쇄시키는 것을 보여주는데, 이는 약 1단위의 핵 전하를 감소시킨다. 리튬에서 가장 바깥쪽 전자는 Z=1에서 궤도운동을 하는데, 이는 두 내부 전자들이 약 2정도의 핵 전하를 감소시키기 때문이다.

모즐리의 법칙은 실험적으로 가장 안쪽 전자쌍들을 조사하여, 그들이 대략적으로 Z-1의 핵 전하를 보일 수 있음을 보여주었다. 반면에, 가장 바깥 껍질에 오직 하나의 전자를 가진 원자나 이온에서 가장 바깥쪽 전자는 Z-k라는 실질적인 전하를 가지는 속 궤도를 회전하는데, 이 때 k는 내부 껍질에 있는 전자들의 전체 수이다.

껍질 모델은 19세기 후반까지 원소 주기율표 상에서 암호화되어 있던 많은 원자의 특성들을 질적으로 설명해줄 수 있다. 원자들은 주기율표 상에서 오른쪽으로 갈수록 더 작아지려는 경향이 있고, 다음 주기로 갈수록 더 커지려는 경향이 있다. 주기율표의 오른쪽에 있는 원자들은 전자를 얻으려는 경향이 있는 반면, 왼쪽에 있는 원자들은 그것들을 잃어버리려는 경향이 있다. 주기율표의 마지막 족의 원소들은 화학적으로 불활성기체들이다.

껍질 모델에서, 이러한 현상은 껍질 채움에 의해 설명된다. 왜냐하면 그들은 그 궤도가 다 찰 때까지 같은 크기의 궤도를 채우고 있기 때문인데, 이는 주기율표 상에서 그 다음 원자가 전자 간의 반발력에 의해 그것이 팽창됨을 야기함에 따라 바깥 전자를 느슨히 구속하고 있음을 의미한다. 첫 번째 보어 궤도는 그것이 두 개의 전자를 가질 때 가득 채워 지는데, 이는 왜 헬륨이 비활성인지를 설명한다. 두 번째 궤도는 8개의 전자를 수용하고, 그것이 꽉 채웠을 때 원자가 네온인데, 이 역시 비활성이다.

6. 모즐리의 법칙과 K-alpha X-ray 방출선 계산

헨리 모즐리는 원자에서 방출되는 가장 강한 X선(K-알파 선)과 원자 번호 사이의 관계(모즐리의 법칙)를 발견했다.^[57] 이 법칙은 요한네스 뤼드베리와 닐스 보어의 공식에서 유도되었으며, 다음과 같은 두 가지 가정을 추가했다.

1. X선은 양자수 1과 2의 에너지 준위 사이의 전이에서 발생한다.

2. 수소보다 무거운 원자의 경우, 원자 번호 Z 대신 (Z-1)을 사용해야 한다. 이는 내부 전자에 의한 핵 전하 가림 효과 때문이다.

모즐리는 자신의 결과를 이론적으로 설명하기 어려워 보어에게 편지를 보냈지만, 당시 보어는 이 현상을 설명할 수 없었다. 이후 내부 껍질에 전자가 2개만 존재한다는 사실이 밝혀지면서 전하 가림 효과로 설명되었다.

모즐리의 법칙에 따르면, 두 번째 껍질에서 첫 번째 껍질로 전자가 이동할 때 방출되는 에너지(K-알파 선)는 다음과 같다.

::$E\; =\; h\backslash nu\; =\; E\_i-E\_f=R\_\backslash mathrm\{E\}\; (Z-1)^2\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{1^2\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{2^2\}\; \backslash right)\; \backslash ,$

또는

::$f\; =\; \backslash nu\; =\; R\_\backslash mathrm\{v\}\; \backslash left(\; \backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)\; (Z-1)^2\; =\; (2.46\; \backslash times\; 10^\{15\}\; \backslash operatorname\{Hz\})(Z-1)^2.$

여기서 '''''R''_v'''는 뤼드베리 상수로, 3.28 x 10¹⁵ Hz이다.

모즐리의 법칙은 원자 번호의 객관적인 의미를 확립하고, 러더퍼드-반 덴 브루크-보어 원자 모형의 타당성을 입증하는 데 기여했다.^[58]

7. 한계 및 개선

보어 모형은 수소 원자의 스펙트럼은 잘 설명하지만, 다전자 원자의 스펙트럼을 정확하게 예측하지 못한다. 또한 전자가 특정 궤도를 따라 운동한다는 가정은 불확정성 원리에 위배된다. 그 밖에도 보어 모형은 다음과 같은 한계점들을 가지고 있다.^[41]

• 더 큰 원자의 스펙트럼 대부분을 설명하지 못한다.
• 스펙트럼 선의 상대 강도를 제대로 예측하지 못한다.
• 스펙트럼 선의 미세 구조와 초미세 구조를 설명하지 못한다.
• 제만 효과를 설명하지 못한다.
• 이중선과 삼중선이 일부 원자의 스펙트럼에 매우 가까운 쌍으로 나타나는 이유를 설명하지 못한다.
• 다전자 원자는 이 모형에 의해 예측된 에너지 준위를 가지고 있지 않다. (중성) 헬륨에는 작동하지 않는다.

7. 1. 좀머펠트의 개선 (보어-좀머펠트 모형)

8. 화학 결합 모델

닐스 보어는 원자 모형과 화학 결합 모형을 제안했다. 그의 이원자 분자 모형에 따르면, 분자를 구성하는 원자의 전자는 분자 축에 수직이고 원자핵으로부터 같은 거리에 있는 회전 고리를 형성한다. 분자계의 동적 평형은 핵이 전자 고리 평면을 끌어당기는 힘과 핵의 상호 반발력 사이의 힘 균형을 통해 달성된다. 보어의 화학 결합 모형은 쿨롱 반발력을 고려했는데, 고리의 전자는 서로 최대 거리에 있다.^[45][46]

참조

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